Vairāk

QGIS pārvieto slāni/visas funkcijas, izmantojot Vector Affine Transformation

QGIS pārvieto slāni/visas funkcijas, izmantojot Vector Affine Transformation


Es izmantoju QGIS, lai analizētu dažus lidojuma maršrutus, kas tika izveidoti, izmantojot citu programmatūru. Tagad, kad tie atrodas QGIS, visa atskaites punkts ir uz 0,0, kas ir lidlauka atskaites punkts.

Bet reālajā pasaulē šis lidlauka atskaites punkts ir vērtība austrumos un ziemeļos. i., austrumi = 286499.025 ziemeļi = 6230965.204, tāpēc viss pārējais (skrejceļa beigas, trases punktiem jābūt tieši tādiem, kādi tie ir reālajā pasaulē)

Es veicu dažus pētījumus un atradu Vector Affine Transformation spraudni. Tagad, izmantojot šo, kā es varu pārvietot visu uz atskaites punktu Easting = 286499.025 Northing = 6230965.204 Easting = X un Northing = Y.

Man ir grūtības saprast spraudņa matricu.


Kā norādīts manā atbildē uz jautājumu, kā aprēķināt parametrus QGIS Affine transformācijai?

Parametri ir:

a: Mērogs X e: Mērogs Y d: Rotācija X b: Rotācija Y c: Tulkojums X f: Tulkojums Y

Tātad, jums vajadzētu būt iespējai pārvietot slāni, iestatotcunfparametrus ar jūsu x un y vērtībām, t.i., c = 286499.025 un f = 6230965,204.

Īpaša uzmanība jāpievērš kartes atsauces sistēmas iestatīšanai iepriekš. Cerams, ka jūsu iestatītais RS un sākotnējie dati atrodas vienā vienībā (piemēram, skaitītāji), pretējā gadījumā jums, iespējams, būs jāpiemēro arī mēroga koeficients.


Ģeoanalītika

Diskusiju padome sadarbībai saistībā ar Qlik GeoAnalytics.

  • Qlik kopiena
  • :
  • Forumi
  • :
  • Datu analīze
  • :
  • Qlik Sense
  • :
  • Ģeoanalītika
  • :
  • Kā izmantot dažādus karšu fonus?
callum_stevens

Kā es varu mainīt kartes fonu no noklusējuma OpenStreetMap? Kādas citas iespējas ir pieejamas, lūdzu? Paldies

Michael_Tarallo

Īpašību galvenajā kartes slānī - ir iestatījums Pamata karte - jūs varat to mainīt.

Jūs arī atzīmēsit, ka ir saite, kas jūs novirza tieši uz tiešsaistes dokumentu.

Ģeodatu slānis ļaus jums izmantot citu flīžu serveri: (TMS, WMS, GeoJSON)

GeodataLayer - vizualizē fona kartes datus vai nu no flīžu pakalpojuma, vai no faila, piemēram, GeoJSON. URL ir izteiksme, kas tiek novērtēta katrā atlasē, un dati tiek atkārtoti ielādēti, mainoties URL. Tādā veidā tas var izveidot savienojumu ar ārējiem datu pakalpojumiem ar dinamiskiem datiem.

Es cenšos iegūt jums piemērotu piemēru.

Ja nepieciešams, lūdzu, atzīmējiet atbilstošās atbildes kā PAREIZAS. Tas palīdzēs kopienas locekļiem un Qlik darbiniekiem zināt, kuras diskusijas jau ir risinātas, un viņiem būs iespējamais zināmais risinājums. Lūdzu, atzīmējiet pavedienus kā NODERĪGUS, ja sniegtais risinājums palīdz problēmai, bet ne vienmēr atrisina norādīto problēmu. Ja uzskatāt, ka citiem ir noderīga papildu informācija, varat atzīmēt vairākus pavedienus kā NODERĪGUS.


Saturs

Definīcijas Rediģēt

Nerelativistiskā klasiskā mehānika laiku uzskata par universālu mērījumu daudzumu, kas ir vienmērīgs visā telpā un ir atdalīts no telpas. Klasiskā mehānika pieņem, ka laikam ir nemainīgs pārejas ātrums neatkarīgi no novērotāja kustības stāvokļa vai no visa ārējā. [2] Turklāt tā pieņem, ka telpa ir eiklīda, tā pieņem, ka telpa seko veselā saprāta ģeometrijai. [3]

Īpašās relativitātes kontekstā laiku nevar atdalīt no trīs telpas dimensijām, jo ​​novērotais ātrums, kādā objekts paiet, ir atkarīgs no objekta ātruma attiecībā pret novērotāju. Vispārējā relativitātes teorija arī izskaidro, kā gravitācijas lauki var palēnināt objekta laika ritējumu, kā to redz novērotājs ārpus lauka.

Parastā telpā pozīciju nosaka trīs skaitļi, kas pazīstami kā izmēri. Dekarta koordinātu sistēmā tos sauc par x, y un z. Pozīciju kosmosa laikā sauc par an notikums, un ir jānorāda četri skaitļi: trīsdimensiju atrašanās vieta telpā, plus pozīcija laikā (1. att.). Pasākumu attēlo koordinātu kopa x, g, z un t. Tādējādi kosmosa laiks ir četrdimensiju. Matemātisko notikumu ilgums ir nulle, un tie atspoguļo vienu punktu telpas laikā.

Daļiņas ceļu caur telpas laiku var uzskatīt par notikumu secību. Notikumu sēriju var savienot kopā, veidojot līniju, kas atspoguļo daļiņas progresu kosmosa laikā. Šo līniju sauc par daļiņu pasaules līnija. [4] : 105

Īpašajā relativitātē novērotājs vairumā gadījumu nozīmē atskaites sistēmu, no kuras tiek mērīts objektu vai notikumu kopums. Šis lietojums būtiski atšķiras no šī termina parastās angļu valodas nozīmes. Atsauces rāmji pēc savas būtības ir nelokālas konstrukcijas, un saskaņā ar šo termina lietojumu nav jēgas runāt par novērotāju kā atrašanās vietu. Attēlā 1-1 iedomājieties, ka aplūkojamais rāmis ir aprīkots ar blīvu pulksteņu režģi, kas sinhronizēts šajā atskaites rāmī un kas bezgalīgi stiepjas trīs telpas dimensijās. Jebkura konkrēta vieta režģī nav svarīga. Pulksteņu režģi tiek izmantoti, lai noteiktu visu kadrā notiekošo notikumu laiku un stāvokli. Termiņš novērotājs attiecas uz visu pulksteņu komplektu, kas saistīts ar vienu inerciālu atskaites sistēmu. [7]: 17–22 Šajā idealizētajā gadījumā katram telpas punktam ir piesaistīts pulkstenis, un tādējādi pulksteņi reģistrē katru notikumu uzreiz, bez kavēšanās starp notikumu un tā ierakstīšanu. Tomēr īsts novērotājs redzēs aizkavēšanos starp signāla izstarošanu un tā noteikšanu gaismas ātruma dēļ. Lai sinhronizētu pulksteņus, datu samazināšanā pēc eksperimenta laiks, kad signāls tiek saņemts, tiks koriģēts, lai atspoguļotu tā faktisko laiku, ja tas tiktu ierakstīts ar idealizētu pulksteņu režģi.

Daudzās grāmatās par īpašo relativitāti, īpaši vecākajās, vārds "novērotājs" tiek lietots šī vārda parastajā nozīmē. Parasti no konteksta ir skaidrs, kura nozīme ir pieņemta.

Fiziķi izšķir to, kas viens pasākumus vai ievēro (pēc tam, kad ir ņemti vērā signālu izplatīšanās kavējumi), salīdzinot ar to, ko cilvēks redz bez šādām korekcijām. Nespēja saprast atšķirību starp to, ko mēra/novēro, salīdzinot ar redzēto, ir daudz kļūdu avots starp relativitātes studentiem. [8]

Vēsture Rediģēt

Līdz 1800. gadu vidum tika uzskatīts, ka dažādi eksperimenti, piemēram, Arago vietas novērošana un gaismas ātruma diferenciālie mērījumi gaisā pret ūdeni, ir pierādījuši gaismas viļņu raksturu, nevis korpuskulāro teoriju. [9] Pēc tam tika pieņemts, ka viļņu izplatīšanās prasa a vicināšana gaismas viļņu gadījumā tas tika uzskatīts par hipotētisku gaismas ēteri. [1. piezīme] Tomēr dažādi mēģinājumi noteikt šīs hipotētiskās vides īpašības deva pretrunīgus rezultātus. Piemēram, 1851. gada Fizeau eksperiments parādīja, ka gaismas ātrums plūstošā ūdenī bija mazāks par gaismas ātruma summu gaisā plus ūdens ātrumu par summu, kas atkarīga no ūdens refrakcijas indeksa. Cita starpā šī eksperimenta paredzētā daļējās ētera vilkšanas atkarība no refrakcijas indeksa (kas ir atkarīgs no viļņa garuma) noveda pie neapmierinoša secinājuma, ka ēteris vienlaicīgi plūst ar dažādu ātrumu dažādām gaismas krāsām. [10] Slavenais 1887. gada Miķelsona – Morlija eksperiments (1. – 2. Att.) Neuzrādīja atšķirīgu Zemes kustību caur hipotētisko ēteri ietekmi uz gaismas ātrumu, un visticamākais izskaidrojums, pilnīga ētera vilkšana, bija pretrunā ar zvaigžņu aberācijas novērošana. [6]

Džordžs Frānsiss Fīrdžralds 1889. gadā un Hendriks Lorencs 1892. gadā neatkarīgi ierosināja, ka materiālie ķermeņi, kas pārvietojas caur fiksēto ēteri, ir fiziski ietekmējuši to pāreju, un kustības virzienā tie saraujas par summu, kas bija tieši nepieciešama, lai izskaidrotu negatīvos rezultātus. Mišelsona -Morlija eksperiments. (Virzienos, kas šķērso kustības virzienu, garuma izmaiņas nenotiek.)

Līdz 1904. gadam Lorenss savu teoriju bija izvērsis tā, ka viņš bija nonācis pie vienādojumiem, kas formāli bija identiski tiem, kurus Einšteinam vajadzēja iegūt vēlāk (t.i., Lorenca transformācijai), bet ar principiāli atšķirīgu interpretāciju. Kā teorija par dinamiku (spēku un griezes momentu izpēte un to ietekme uz kustību) viņa teorija pieņēma matērijas fizisko sastāvdaļu faktiskās fiziskās deformācijas. [11]: 163–174 Lorenca vienādojumi paredzēja daudzumu, ko viņš sauca vietējais laiks, ar kuru viņš varētu izskaidrot gaismas novirzi, Fizeau eksperimentu un citas parādības. Tomēr Lorencs uzskatīja, ka vietējais laiks ir tikai palīgmatemātisks instruments, it kā triks, lai vienkāršotu pārveidošanu no vienas sistēmas citā.

Citi fiziķi un matemātiķi gadsimta mijā bija tuvu tam, lai nonāktu pie tā laika telpas telpas. Pats Einšteins atzīmēja, ka tik daudziem cilvēkiem, atjaucot atsevišķus puzles gabalus, "īpašā relativitātes teorija, ja mēs to aplūkojam retrospektīvi, bija gatava atklāšanai 1905. gadā". [12]

Svarīgs piemērs ir Henri Poincaré, [13] [14]: 73–80,93–95, kurš 1898. gadā apgalvoja, ka divu notikumu vienlaicīgums ir vienošanās jautājums. [15] [2. piezīme] 1900. gadā viņš atzina, ka Lorencas "vietējais laiks" patiesībā ir tas, ko norāda pulksteņu pārvietošana, skaidri piemērojot darbības definīcija pulksteņa sinhronizācija, pieņemot nemainīgu gaismas ātrumu. [3. piezīme] 1900. un 1904. gadā viņš ieteica ētera neatklājamību, uzsverot tā sauktā relativitātes principa pamatotību, un 1905./1906. [16] viņš matemātiski pilnveidoja Lorenca elektronu teoriju, lai to īstenotu. saskaņā ar relativitātes postulātu. Apspriežot dažādas hipotēzes par Lorenca nemainīgo gravitāciju, viņš iepazīstināja ar novatorisku 4-dimensiju telpas laika koncepciju, nosakot dažādus četrus vektorus, proti, četru pozīciju, četru ātrumu un četru spēku. [17] [18] Turpmākajos dokumentos viņš neiekļāva četrdimensiju formālismu, norādot, ka šī pētījuma līnija, šķiet, "rada lielas sāpes ierobežotas peļņas dēļ", galu galā secinot, ka "trīsdimensiju valoda šķiet vispiemērotākā mūsu pasaules aprakstam ”. [18] Turklāt vēl 1909. gadā Poinkarē turpināja ticēt Lorenca transformācijas dinamiskajai interpretācijai. [11]: 163–174 Šo un citu iemeslu dēļ vairums zinātņu vēsturnieku apgalvo, ka Poinkarē nav izgudrojis to, ko tagad sauc par īpašo relativitāti. [14] [11]

1905. gadā Einšteins ieviesa īpašo relativitāti (kaut arī neizmantojot telpas laika formālisma paņēmienus) savā mūsdienu izpratnē kā telpas un laika teorija. [14] [11] Lai gan viņa rezultāti matemātiski ir līdzvērtīgi Lorenca un Poinkarē rezultātiem, Einšteins parādīja, ka Lorenca pārvērtības nav radušās mijiedarbības starp matēriju un ēteri rezultātā, bet drīzāk attiecas uz telpas un laika būtību. Visus savus rezultātus viņš ieguva, atzīstot, ka visu teoriju var balstīt uz diviem postulātiem: relativitātes princips un gaismas ātruma noturības princips.

Einšteins savu analīzi veica kinemātikas (kustīgu ķermeņu izpēte, neatsaucoties uz spēkiem), nevis dinamikas ziņā. Viņa darbs, iepazīstinot ar šo tēmu, bija piepildīts ar spilgtiem attēliem, kas ietvēra gaismas signālu apmaiņu starp kustīgiem pulksteņiem, rūpīgu kustīgo stieņu garuma mērīšanu un citus šādus piemērus. [19] [4. piezīme]

Turklāt Einšteins 1905. gadā aizstāja iepriekšējos elektromagnētiskās masas un enerģijas attiecību mēģinājumus, ieviešot masas un enerģijas vispārējo ekvivalenci, kas bija noderīga viņa turpmākajai līdzvērtības principa formulēšanai 1907. gadā, kas deklarē inerciālās un gravitācijas masas līdzvērtību. Izmantojot masas un enerģijas ekvivalenci, Einšteins turklāt parādīja, ka ķermeņa gravitācijas masa ir proporcionāla tās enerģijas saturam, kas bija viens no agrīnajiem rezultātiem vispārējās relativitātes attīstībā. Lai gan varētu šķist, ka viņš sākumā nedomāja ģeometriski par kosmosa laiku, [21]: 219 tālākā vispārējās relativitātes attīstībā Einšteins pilnībā iekļāva telpas laika formālismu.

Kad Einšteins publicēja 1905. gadā, cits viņa konkurents, viņa bijušais matemātikas profesors Hermans Minkovskis, arī bija ieradies pie lielākās daļas īpašās relativitātes pamatelementu. Makss Borns pastāstīja par tikšanos ar Minkovski, cenšoties kļūt par Minkovska studentu/līdzstrādnieku: [22]

Es devos uz Ķelni, tikos ar Minkovski un dzirdēju viņa svinīgo lekciju “Telpa un laiks”, kas tika nolasīta 1908. gada 2. septembrī. […] Vēlāk viņš man teica, ka tas viņu pārsteidza, kad Einšteins publicēja savu rakstu, kurā dažādi vietējie laiki, kad novērotāji pārvietojās viens pret otru, tika izteikts, jo viņš pats bija nonācis pie tādiem pašiem secinājumiem, bet tos nepublicēja, jo vispirms vēlējās izstrādāt matemātisko struktūru visā tās krāšņumā. Viņš nekad neizvirzīja pretenzijas un vienmēr deva Einšteinam pilnu daļu lielajā atklājumā.

Minkovskis bija nobažījies par elektrodinamikas stāvokli pēc Mišelsona graujošajiem eksperimentiem vismaz kopš 1905. gada vasaras, kad Minkovskis un Deivids Hilberts vadīja padziļinātu semināru, kurā piedalījās tā laika ievērojamie fiziķi, lai pētītu Lorenca, Poinkarē u.c. Tomēr nav īsti skaidrs, kad Minkovskis sāka formulēt īpašās relativitātes ģeometrisko formulējumu, kuram bija jānes viņa vārds, vai arī to, cik lielā mērā viņu ietekmēja Poinkarē Lorenca transformācijas četrdimensiju interpretācija. Nav arī skaidrs, vai viņš kādreiz pilnībā novērtēja Einšteina kritisko ieguldījumu Lorencas pārvērtību izpratnē, domājot par Einšteina darbu kā Lorenca darba turpinājumu. [23]

1907. gada 5. novembrī (nedaudz vairāk kā gadu pirms savas nāves) Minkovskis lekcijā Göttingen Mathematical Society iepazīstināja ar savu ģeometrisko telpas laika interpretāciju ar nosaukumu, Relativitātes princips (Das Relativitätsprinzip). [5. piezīme] 1908. gada 21. septembrī Minkovskis prezentēja savu slaveno runu, Telpa un laiks (Raum und Zeit), [24] Vācijas Zinātnieku un ārstu biedrībai. Sākuma vārdi Telpa un laiks iekļaut Minkovska slaveno paziņojumu, ka "turpmāk telpa sev un laiks sev pilnībā samazināsies līdz ēnai, un tikai kaut kāda abu savienība saglabās neatkarību". Telpa un laiks ietvēra pirmo publisko telpas laika diagrammu prezentāciju (1.-4. attēls), kā arī ievērojamu pierādījumu tam, ka nemainīgs intervāls (aplūkots turpmāk), kā arī empīriskais novērojums, ka gaismas ātrums ir ierobežots, ļauj iegūt īpašas relativitātes kopumu. [6. piezīme]

Kosmosa laika jēdziens un Lorenca grupa ir cieši saistīti ar noteiktiem sfēras, hiperboliskas vai konformālas ģeometrijas veidiem un to transformācijas grupām, kas jau izveidojušās 19. gadsimtā, kuros tiek izmantoti nemainīgi intervāli, kas ir analoģiski telpas laika intervālam. [7. piezīme]

Savukārt Einšteins sākotnēji noraidīja Minkovska ģeometrisko īpašās relativitātes interpretāciju, uzskatot to par überflüssige Gelehrsamkeit (liekā mācīšanās). Tomēr, lai pabeigtu savus vispārējās relativitātes meklējumus, kas sākās 1907. gadā, relativitātes ģeometriskā interpretācija izrādījās vitāli svarīga, un 1916. gadā Einšteins pilnībā atzina savas parādsaistības Minkovskim, kura interpretācija ievērojami atviegloja pāreju uz vispārējo relativitāti. [11]: 151–152 Tā kā pastāv arī citi kosmosa laika veidi, piemēram, vispārējās relativitātes izliektais telpas laiks, īpašās relativitātes telpas laiks mūsdienās ir pazīstams kā Minkovska kosmosa laiks.

Telpas laika intervāls Rediģēt

Lai gan divi skatītāji var izmērīt x, g, un z Abu punktu atrašanās vieta, izmantojot dažādas koordinātu sistēmas, attālums starp punktiem abiem būs vienāds (pieņemot, ka tie mēra, izmantojot vienādas mērvienības). Attālums ir "nemainīgs".

Tomēr īpašā relativitātes teorijā attālums starp diviem punktiem vairs nav vienāds, ja to mēra divi dažādi novērotāji, kad viens no novērotājiem pārvietojas, Lorenca kontrakcijas dēļ. Situācija ir vēl sarežģītāka, ja abi punkti tiek atdalīti laikā, kā arī telpā. Piemēram, ja viens novērotājs redz divus notikumus vienā un tajā pašā vietā, bet dažādos laikos, persona, kas pārvietojas attiecībā pret pirmo novērotāju, redzēs, ka abi notikumi notiek dažādās vietās, jo (no viņu viedokļa) tie ir nekustīgi , un notikuma stāvoklis attālinās vai tuvojas. Tādējādi, lai izmērītu faktisko "attālumu" starp diviem notikumiem, jāizmanto cits mērs.

Četrdimensiju telpas laikā analogs attālumam ir intervāls. Lai gan laiks nāk kā ceturtā dimensija, pret to attiecas atšķirīgi no telpiskajām dimensijām. Tādējādi Minkovska telpa svarīgos aspektos atšķiras no četrdimensiju Eiklida telpas. Galvenais iemesls telpas un laika apvienošanai kosmosa laikā ir tāds, ka telpa un laiks atsevišķi nav nemainīgi, proti, piemērotos apstākļos dažādi novērotāji nepiekritīs laika periodam starp diviem notikumiem (laika paplašināšanās dēļ) vai attālumu starp abiem notikumiem (garuma samazināšanās dēļ). Bet īpašā relativitāte nodrošina jaunu nemainīgu, ko sauc par telpas un laika intervāls, kas apvieno attālumus telpā un laikā. Visi novērotāji, kuri mēra laiku un attālumu starp jebkuriem diviem notikumiem, galu galā aprēķinās to pašu telpas laika intervālu. Pieņemsim, ka novērotājs divus notikumus mēra tā, lai tie būtu atdalīti laikā ar Δ t < displaystyle Delta t> un telpisko attālumu Δ x. < displaystyle Delta x.> Tad telpas laika intervāls (Δ s) 2 < displaystyle ( Delta )^<2>> starp diviem notikumiem, kurus atdala attālums Δ x < displaystyle Delta > telpā un ar Δ c t = c Δ t < displaystyle Delta = c Delta t> koordinātā c t < displaystyle ct> ir:

vai trīs telpas dimensijām,

Laika diagramma parasti tiek uzzīmēta tikai ar vienu atstarpi un vienu laika koordinātu. Attēlā 2-1 ir parādīta telpas laika diagramma, kas ilustrē pasaules līnijas (t.i. ceļi kosmosa laikā) no diviem fotoniem, A un B, kuru izcelsme ir viens un tas pats notikums un kas virzās pretējos virzienos. Turklāt C ilustrē lēnāka par gaismas ātrumu objekta pasaules līniju. Vertikālā laika koordināta tiek mērogota ar c < displaystyle c> tā, lai tai būtu tādas pašas vienības (metri) kā horizontālajai telpas koordinātei. Tā kā fotoni pārvietojas gaismas ātrumā, to pasaules līniju slīpums ir ± 1. Citiem vārdiem sakot, katram metram, ko fotons pārvietojas pa kreisi vai pa labi, nepieciešams apmēram 3,3 nanosekundes laika.

Relativitātes literatūrā tiek izmantotas divas zīmju konvencijas:

Šīs zīmju konvencijas ir saistītas ar metriskie paraksti ( + - - -) un ( - + + +). Nelielas izmaiņas ir laika koordinātu ievietošana pēdējā, nevis pirmajā vietā. Abas konvencijas tiek plaši izmantotas studiju jomā.

Atsauces rāmji Rediģēt

Lai gūtu ieskatu par to, kā salīdzina telpas laika koordinātas, ko novērotāji mēra dažādos atsauces rāmjos, ir lietderīgi strādāt ar vienkāršotu iestatījumu ar kadriem standarta konfigurācija. Rūpīgi tas ļauj vienkāršot matemātiku, nezaudējot vispārējos secinājumus. Attēlā 2-2 relatīvā kustībā tiek parādīti divi Galilejas atsauces rāmji (t.i., parastie 3-staru rāmji). S kadrs pieder pirmajam novērotājam O, bet kadrs S ′ (izrunā kā “S prime”) - otram novērotājam O ′.

  • x, g, z rāmja S asis ir orientētas paralēli rāmja S ′ attiecīgajām gruntētajām asīm.
  • Rāmis S ′ pārvietojas x-rāmja S virziens ar nemainīgu ātrumu v mērot S kadrā.
  • Kadru S un S ′ izcelsme sakrīt laikā t = 0 rāmim S un t′ = 0 rāmim S ′. [4]: 107

Attēls 2-3a pārzīmē zīmējumu 2-2 citā orientācijā. Attēlā 2-3b ir attēlota telpas laika diagramma no novērotāja O viedokļa. Tā kā S un S 'ir standarta konfigurācijā, to izcelsme reizēm sakrīt t = 0 kadrā S un t′ = 0 kadrā S ′. ct′ Ass iet caur notikumiem rāmī S ′, kuriem ir x′ = 0. Bet punkti ar x′ = 0 pārvietojas xrāmja S virziens ar ātrumu v, lai tie nesakristu ar ct ass jebkurā laikā, izņemot nulli. Tāpēc, ctAss ir noliekta attiecībā pret ct asi pa leņķi θ dots

xAss ir arī noliekta attiecībā pret x ass. Lai noteiktu šī slīpuma leņķi, mēs atgādinām, ka gaismas impulsa pasaules līnijas slīpums vienmēr ir ± 1. Attēlā 2-3c ir parādīta laika laika diagramma no novērotāja O 'viedokļa. Notikums P apzīmē gaismas impulsa izstarošanu plkst x′ = 0, ct′ = −a. Pulss tiek atspoguļots no spoguļa, kas atrodas attālumā a no gaismas avota (notikums Q) un atgriežas pie gaismas avota plkst x′ = 0, ct′ = a (notikums R).

Tie paši notikumi P, Q, R ir attēloti 2-3b. Attēlā novērotāja O rāmī. Gaismas ceļiem ir slīpums = 1 un −1, tāpēc △ PQR veido taisnstūra trīsstūri ar PQ un QR gan 45 grādu leņķī uz x un ct asis. Tā kā OP = OQ = VAI, leņķis starp x' un x jābūt arī θ. [4] : 113–118

Kamēr atpūtas rāmim ir telpas un laika asis, kas satiekas taisnā leņķī, kustīgais rāmis tiek zīmēts ar asīm, kas satiekas akūtā leņķī. Rāmji faktiski ir līdzvērtīgi. Asimetrija ir saistīta ar nenovēršamiem izkropļojumiem, kā kosmosa laika koordinātas var ievietot Dekarta plaknē, un to nevajadzētu uzskatīt par svešinieku kā veidu, kādā uz Zemes Mercator projekcijas relatīvie zemes masu izmēri pie poliem (Grenlande un Antarktīda) ir ļoti pārspīlēti salīdzinājumā ar sauszemes masām ekvatora tuvumā.

Gaismas konuss Rediģēt

Attēlā 2–4 notikums O atrodas telpas laika diagrammas sākumā, un abas diagonālās līnijas attēlo visus notikumus, kuru telpas laika intervāls attiecībā pret izcelsmes notikumu ir nulle. Šīs divas līnijas veido tā saukto gaismas konuss no notikuma O, jo, pievienojot otru telpisko dimensiju (2-5. attēls), šķiet, ka divi labie apļveida konusi saskaras ar virsotnēm pie O. Viens konuss sniedzas nākotnē (t & gt0), otrs-pagātnē ( t & lt0).

Viegls (divkāršs) konuss sadala telpas laiku atsevišķos reģionos attiecībā uz tā virsotni. Nākotnes gaismas konusa interjeru veido visi notikumi, kurus no virsotnes atdala vairāk laiks (laika attālums), nekā nepieciešams to šķērsošanai telpiskais attālums pie gaismas ātruma šie notikumi ietver laicīga nākotne no notikuma O. Tāpat laika ziņā pagātne ietver pagātnes gaismas konusa interjera notikumus. Tātad iekšā laika intervāli Δct ir lielāks par Δx, padarot laika intervālus pozitīvus. Reģions ārpus gaismas konusa sastāv no notikumiem, kurus no notikuma O atdala vairāk telpa nekā to var šķērsot gaismas ātrumā laiks. Šie notikumi ietver t.s kosmosam līdzīgs notikuma reģions O, 2-4. attēlā apzīmēts kā "citur". Notikumi uz paša gaismas konusa esot viegls (vai atdalīts nulle) no O. Telpiskā laika intervāla nemainības dēļ visi novērotāji piešķirs vienu un to pašu gaismas konusu jebkuram konkrētam notikumam un tādējādi vienosies par šo telpas laika sadalījumu. [21]: 220

Gaismas konusam ir būtiska loma cēloņsakarības jēdzienā. Ir iespējams, ka signāls, kas nav ātrāks par gaismas ātrumu, pārvietojas no O stāvokļa un laika uz D pozīciju un laiku (2-4. Attēls). Tādējādi notikumam O var būt cēloņsakarīga ietekme uz notikumu D. Nākotnes gaismas konuss satur visus notikumus, kurus cēloņsakarīgi varētu ietekmēt O. Tāpat ir iespējams signāls, kas nav ātrāks par gaismas ātrumu. ceļot no A pozīcijas un laika līdz O. pozīcijai un laikam. Pagātnes gaismas konuss satur visus notikumus, kas varētu izraisīt cēloņsakarību uz O. Turpretim, pieņemot, ka signāli nevar pārvietoties ātrāk par gaismas ātrumu, pasākums, piemēram, piem B vai C, kosmosa līdzīgā reģionā (citur), nevar ietekmēt notikumu O, kā arī nevar ietekmēt notikums O, izmantojot šādu signalizāciju. Saskaņā ar šo pieņēmumu ir izslēgta jebkāda cēloņsakarība starp notikumu O un jebkādiem notikumiem gaismas konusa telpiskajā reģionā. [29]

Vienlaicīguma relativitāte Rediģēt

Visi novērotāji piekrīt, ka jebkurā konkrētā notikumā notiek notikums konkrētā notikuma nākotnes gaismas konusa ietvaros pēc dotais notikums. Tāpat jebkuram notikumam notiek notikums konkrētā notikuma pagātnes gaismas konusa ietvaros pirms tam dotais notikums. Attiecības pirms un pēc, kas novērotas laika ziņā atdalītiem notikumiem, paliek nemainīgas neatkarīgi no tā, kāds ir novērotāja atskaites ietvars, t.i., neatkarīgi no tā, kā novērotājs var kustēties. Pavisam citāda situācija ir notikumiem, kas atdalīti no kosmosa. 2-4. Att tika ņemts no novērotāja atskaites rāmja, kurš pārvietojas v = 0. No šī atsauces ietvara tiek novērots, ka notikums C notiek pēc notikuma O, bet notikums B-pirms notikuma O. No cita atsauces ietvara šo cēloņsakarību nesaistīto notikumu secību var mainīt. Jo īpaši tiek atzīmēts, ka, ja divi notikumi ir vienlaicīgi noteiktā atsauces rāmī, tie ir obligāti tos atdala ar kosmosam līdzīgu intervālu un tādējādi tie nav saistīti. Novērojumu, ka vienlaicīgums nav absolūts, bet ir atkarīgs no novērotāja atskaites sistēmas, sauc par vienlaicīguma relativitāti. [30]

Attēlā 2-6 ilustrēta telpas laika diagrammu izmantošana vienlaicīguma relativitātes analīzē. Laika laika notikumi ir nemainīgi, bet koordinātu rāmji pārveidojas, kā aprakstīts iepriekš 2. – 3. Trīs notikumi (A, B, C) ir vienlaicīgi no novērotāja atsauces rāmja, kurš pārvietojas v = 0. No novērotāja atskaites rāmja, kas pārvietojas pie v = 0.3c, notikumi, šķiet, notiek secībā C, B, A. No atskaites ietvara novērotājam, kas pārvietojas pie v = −0.5c , šķiet, ka notikumi notiek secībā A, B, C. Baltā līnija apzīmē a vienlaicīguma plakne tiek pārvietots no novērotāja pagātnes uz novērotāja nākotni, izceļot tajā esošos notikumus. Pelēkais laukums ir novērotāja gaišais konuss, kas paliek nemainīgs.

Kosmosam līdzīgs telpas laika intervāls dod tādu pašu attālumu, kādu novērotājs varētu izmērīt, ja mērāmie notikumi novērotājam būtu vienlaicīgi. Līdz ar to kosmosam līdzīgs telpas laika intervāls nodrošina mēru pareizs attālums, t.i., patiesais attālums = - s 2. < displaystyle < sqrt <-s^<2> >>.> Tāpat laika ziņā laika intervāls sniedz tādu pašu laika mērījumu, kāds būtu, ja kumulatīvi tiktu atzīmēts pulkstenis, kas pārvietojas pa noteiktu pasaules līniju. Laika ziņā līdzīgs telpas laika intervāls tādējādi nodrošina mēru īstais laiks = s 2. < displaystyle < sqrt >>.> [21] : 220–221

Invarianta hiperbola Rediģēt

Eiklīda telpā (kam ir tikai telpiskie izmēri) punktu kopums, kas atrodas vienādā attālumā (izmantojot Eiklīda metriku) no kāda punkta, veido apli (divās dimensijās) vai sfēru (trīs dimensijās). (1+1) -dimensiju Minkovska kosmosa laikā (kam ir viena laika un viena telpiskā dimensija) punkti, kas atrodas noteiktā nemainīgā telpas laika intervālā no sākuma (izmantojot Minkovska metriku), veido līknes, kas dotas ar diviem vienādojumiem

Attēlā 2-7a katra fuksīna hiperbola savieno visus notikumus, kuriem ir noteikta fiksēta atstarpes atdalīšana no izcelsmes, bet zaļās hiperboles savieno notikumus ar vienādu laika atdalīšanu.

Magenta hiperbola, kas šķērso x asis, ir laika līknes, kas nozīmē, ka šīs hiperbolas attēlo faktiskos ceļus, kurus kosmosa laikā var šķērsot (pastāvīgi paātrinātas) daļiņas: starp jebkuriem diviem notikumiem vienā hiperbolā ir iespējama cēloņsakarība, jo slīpuma apgrieztais apzīmējums nepieciešamais ātrums - visiem secantiem ir mazāks par c < displaystyle c>. No otras puses, zaļās hiperbola, kas šķērso ct ass, ir telpiskas līknes, jo visi intervāli gar šīs hiperbolas ir telpiski intervāli. Cēloņsakarība nav iespējama starp diviem punktiem vienā no šīm hiperbolām, jo ​​visi secanti attēlo ātrumu, kas lielāks par c .

Attēls 2-7b atspoguļo situāciju (1+2) dimensijas Minkovska telpas laikā (viena laika un divas telpiskās dimensijas) ar atbilstošajiem hiperboloīdiem. Nemainīgās hiperbolas, kas no vietas pārvietotas ar atstarpēm līdzīgiem intervāliem, ģenerē vienas lapas hiperboloīdus, savukārt nemainīgās hiperbolijas, kas pārvietotas ar laika intervāliem no izcelsmes, rada divu lapu hiperboloīdus.

(1+2) dimensiju robeža starp kosmosam un laikam līdzīgiem hiperboloīdiem, ko nosaka notikumi, kas veido nulles telpas un laika intervālu līdz izcelsmei, sastāv no hiperboloīdu deģenerācijas līdz gaismas konusam. (1+1) izmēros hiperboles deģenerējas līdz divām pelēkām 45 ° līnijām, kas attēlotas 2.-7a attēlā.

Laika paplašināšanās un garuma samazināšanās Rediģēt

Attēlā 2-8 ilustrēta nemainīgā hiperbola visiem notikumiem, kurus var sasniegt no izcelsmes 5 metru īsā laikā (aptuveni 1,67 × 10–8 s). Dažādas pasaules līnijas attēlo pulksteņus, kas pārvietojas ar dažādu ātrumu. Pulkstenim, kas ir nekustīgs attiecībā pret novērotāju, ir pasaules līnija, kas ir vertikāla, un novērotāja izmērītais laiks ir tāds pats kā īstais laiks. Pulkstenim, kas ceļo pie 0.3 cnovērotāja izmērītais laiks ir 5,24 metri (1,75 × 10–8 s), bet pulkstenim, kas pārvietojas ar 0,7 metriem c, novērotāja izmērītais laiks ir 7,00 metri (2,34 × 10–8 s). Tas ilustrē fenomenu, kas pazīstams kā laika paplašināšanās. Pulksteņiem, kas pārvietojas ātrāk, ir vajadzīgs ilgāks laiks (novērotāja rāmī), lai noteiktu tikpat daudz laika, un tie šajā noteiktajā laikā pārvietojas tālāk pa x asi, nekā tie būtu bez laika paplašināšanās. [21]: 220–221 Laika paplašināšanās mērījumi, ko veic divi novērotāji dažādos inerces atskaites rāmjos, ir savstarpēji. Ja novērotājs O mēra novērotāja O 'pulksteņus, kas rāmī darbojas lēnāk, novērotājs O' savukārt mērīs novērotāja O pulksteņus kā lēnākus.

Garuma saraušanās, tāpat kā laika paplašināšanās, ir vienlaicīguma relativitātes izpausme. Lai izmērītu garumu, ir jāizmēra telpas laika intervāls starp diviem notikumiem, kas ir vienlaicīgi atskaites sistēmā. Bet notikumi, kas vienā atskaites sistēmā ir vienlaicīgi, parasti nav vienādi citos atskaites rāmjos.

Attēlā 2-9 ilustrētas 1 m stieņa kustības, kas pārvietojas pie 0,5 c gar x ass. Zilās joslas malas attēlo stieņa divu galapunktu pasaules līnijas. Nemainīgā hiperbola ilustrē notikumus, kas no izcelsmes atdalīti ar 1 m atstarpi. Galapunkti O un B izmērīti, kad t ′ = 0 ir vienlaicīgi notikumi S rāmī. Bet novērotājam S rāmī notikumi O un B nav vienlaicīgi. Lai izmērītu garumu, novērotājs rāmī S mēra stieņa galapunktus, kas projicēti uz x-asis pēc viņu pasaules līnijas. Stieņa projekcija pasaules lapa uz x ass dod saīsināto garumu OC. [4]: 125

(nav ilustrēts) Zīmējot vertikālu līniju caur A, lai tā krustojas ar x′ axis demonstrates that, even as OB is foreshortened from the point of view of observer O, OA is likewise foreshortened from the point of view of observer O′. In the same way that each observer measures the other's clocks as running slow, each observer measures the other's rulers as being contracted.

In regards to mutual length contraction, 2-9 illustrates that the primed and unprimed frames are mutually rotated by a hyperbolic angle (analogous to ordinary angles in Euclidean geometry). [note 8] Because of this rotation, the projection of a primed meter-stick onto the unprimed x-axis is foreshortened, while the projection of an unprimed meter-stick onto the primed x′-axis is likewise foreshortened.

Mutual time dilation and the twin paradox Edit

Mutual time dilation Edit

Mutual time dilation and length contraction tend to strike beginners as inherently self-contradictory concepts. If an observer in frame S measures a clock, at rest in frame S', as running slower than his', while S' is moving at speed v in S, then the principle of relativity requires that an observer in frame S' likewise measures a clock in frame S, moving at speed −v in S', as running slower than hers. How two clocks can run both slower than the other, is an important question that "goes to the heart of understanding special relativity." [21] : 198

This apparent contradiction stems from not correctly taking into account the different settings of the necessary, related measurements. These settings allow for a consistent explanation of the only apparent contradiction. It is not about the abstract ticking of two identical clocks, but about how to measure in one frame the temporal distance of two ticks of a moving clock. It turns out that in mutually observing the duration between ticks of clocks, each moving in the respective frame, different sets of clocks must be involved. In order to measure in frame S the tick duration of a moving clock W′ (at rest in S′), one uses divi additional, synchronized clocks W1 and W2 at rest in two arbitrarily fixed points in S with the spatial distance d.

Two events can be defined by the condition "two clocks are simultaneously at one place", i.e., when W′ passes each W1 and W2. For both events the two readings of the collocated clocks are recorded. The difference of the two readings of W1 and W2 is the temporal distance of the two events in S, and their spatial distance is d. The difference of the two readings of W′ is the temporal distance of the two events in S′. In S′ these events are only separated in time, they happen at the same place in S′. Because of the invariance of the spacetime interval spanned by these two events, and the nonzero spatial separation d in S, the temporal distance in S′ must be smaller than the one in S: the mazāks temporal distance between the two events, resulting from the readings of the moving clock W′, belongs to the lēnāk running clock W′.

Conversely, for judging in frame S′ the temporal distance of two events on a moving clock W (at rest in S), one needs two clocks at rest in S′.

In this comparison the clock W is moving by with velocity −v. Recording again the four readings for the events, defined by "two clocks simultaneously at one place", results in the analogous temporal distances of the two events, now temporally and spatially separated in S′, and only temporally separated but collocated in S. To keep the spacetime interval invariant, the temporal distance in S must be smaller than in S′, because of the spatial separation of the events in S′: now clock W is observed to run slower.

The necessary recordings for the two judgements, with "one moving clock" and "two clocks at rest" in respectively S or S′, involves two different sets, each with three clocks. Since there are different sets of clocks involved in the measurements, there is no inherent necessity that the measurements be reciprocally "consistent" such that, if one observer measures the moving clock to be slow, the other observer measures the one's clock to be fast. [21] : 198–199

Fig. 2-10 illustrates the previous discussion of mutual time dilation with Minkowski diagrams. The upper picture reflects the measurements as seen from frame S "at rest" with unprimed, rectangular axes, and frame S′ "moving with v > 0", coordinatized by primed, oblique axes, slanted to the right the lower picture shows frame S′ "at rest" with primed, rectangular coordinates, and frame S "moving with −v < 0", with unprimed, oblique axes, slanted to the left.

Each line drawn parallel to a spatial axis (x, x′) represents a line of simultaneity. All events on such a line have the same time value (ct, ct′). Likewise, each line drawn parallel to a temporal axis (ct, ct′) represents a line of equal spatial coordinate values (x, x′).

One may designate in both pictures the origin O (= O ′ ) as the event, where the respective "moving clock" is collocated with the "first clock at rest" in both comparisons. Obviously, for this event the readings on both clocks in both comparisons are zero. As a consequence, the worldlines of the moving clocks are the slanted to the right ct′-axis (upper pictures, clock W′) and the slanted to the left ct-axes (lower pictures, clock W). The worldlines of W1 and W′1 are the corresponding vertical time axes (ct in the upper pictures, and ct′ in the lower pictures). In the upper picture the place for W2 is taken to be Ax > 0, and thus the worldline (not shown in the pictures) of this clock intersects the worldline of the moving clock (the ct′-axis) in the event labelled A, where "two clocks are simultaneously at one place". In the lower picture the place for W′2 is taken to be Cx < 0, and so in this measurement the moving clock W passes W′2 in the event C. In the upper picture the ct-coordinate At of the event A (the reading of W2) is labeled B, thus giving the elapsed time between the two events, measured with W1 and W2, kā OB. For a comparison, the length of the time interval OA, measured with W′, must be transformed to the scale of the ct-asis. This is done by the invariant hyperbola (see also Fig. 2-8) through A, connecting all events with the same spacetime interval from the origin as A. This yields the event C uz ct-axis, and obviously: OC < OB, the "moving" clock W′ runs slower.

To show the mutual time dilation immediately in the upper picture, the event D may be constructed as the event at x′ = 0 (the location of clock W′ in S′), that is simultaneous to C (OC has equal spacetime interval as OA) in S′. This shows that the time interval OD is longer than OA, showing that the "moving" clock runs slower. [4] : 124

In the lower picture the frame S is moving with velocity −v in the frame S′ at rest. The worldline of clock W is the ct-axis (slanted to the left), the worldline of W′1 is the vertical ct′-axis, and the worldline of W′2 is the vertical through event C, ar ct′-coordinate D. The invariant hyperbola through event C scales the time interval OC uz OA, which is shorter than OD also, B is constructed (similar to D in the upper pictures) as simultaneous to A in S, at x = 0. The result OB & gt OC corresponds again to above.

The word "measure" is important. In classical physics an observer cannot affect an observed object, but the object's state of motion var affect the observer's observations no objekta.

Twin paradox Edit

Many introductions to special relativity illustrate the differences between Galilean relativity and special relativity by posing a series of "paradoxes". These paradoxes are, in fact, ill-posed problems, resulting from our unfamiliarity with velocities comparable to the speed of light. The remedy is to solve many problems in special relativity and to become familiar with its so-called counter-intuitive predictions. The geometrical approach to studying spacetime is considered one of the best methods for developing a modern intuition. [31]

The twin paradox is a thought experiment involving identical twins, one of whom makes a journey into space in a high-speed rocket, returning home to find that the twin who remained on Earth has aged more. This result appears puzzling because each twin observes the other twin as moving, and so at first glance, it would appear that each should find the other to have aged less. The twin paradox sidesteps the justification for mutual time dilation presented above by avoiding the requirement for a third clock. [21] : 207 Nevertheless, the twin paradox is not a true paradox because it is easily understood within the context of special relativity.

The impression that a paradox exists stems from a misunderstanding of what special relativity states. Special relativity does not declare all frames of reference to be equivalent, only inertial frames. The traveling twin's frame is not inertial during periods when she is accelerating. Furthermore, the difference between the twins is observationally detectable: the traveling twin needs to fire her rockets to be able to return home, while the stay-at-home twin does not. [32] [note 9]

These distinctions should result in a difference in the twins' ages. The spacetime diagram of Fig. 2-11 presents the simple case of a twin going straight out along the x axis and immediately turning back. From the standpoint of the stay-at-home twin, there is nothing puzzling about the twin paradox at all. The proper time measured along the traveling twin's world line from O to C, plus the proper time measured from C to B, is less than the stay-at-home twin's proper time measured from O to A to B. More complex trajectories require integrating the proper time between the respective events along the curve (i.e. the path integral) to calculate the total amount of proper time experienced by the traveling twin. [32]

Complications arise if the twin paradox is analyzed from the traveling twin's point of view.

Weiss's nomenclature, designating the stay-at-home twin as Terence and the traveling twin as Stella, is hereafter used. [32]

Stella is not in an inertial frame. Given this fact, it is sometimes incorrectly stated that full resolution of the twin paradox requires general relativity: [32]

A pure SR analysis would be as follows: Analyzed in Stella's rest frame, she is motionless for the entire trip. When she fires her rockets for the turnaround, she experiences a pseudo force which resembles a gravitational force. [32] Figs. 2-6 and 2-11 illustrate the concept of lines (planes) of simultaneity: Lines parallel to the observer's x-axis (xy-plane) represent sets of events that are simultaneous in the observer frame. In Fig. 2-11, the blue lines connect events on Terence's world line which, from Stella's point of view, are simultaneous with events on her world line. (Terence, in turn, would observe a set of horizontal lines of simultaneity.) Throughout both the outbound and the inbound legs of Stella's journey, she measures Terence's clocks as running slower than her own. But during the turnaround (i.e. between the bold blue lines in the figure), a shift takes place in the angle of her lines of simultaneity, corresponding to a rapid skip-over of the events in Terence's world line that Stella considers to be simultaneous with her own. Therefore, at the end of her trip, Stella finds that Terence has aged more than she has. [32]

Although general relativity is not required to analyze the twin paradox, application of the Equivalence Principle of general relativity does provide some additional insight into the subject. Stella is not stationary in an inertial frame. Analyzed in Stella's rest frame, she is motionless for the entire trip. When she is coasting her rest frame is inertial, and Terence's clock will appear to run slow. But when she fires her rockets for the turnaround, her rest frame is an accelerated frame and she experiences a force which is pushing her as if she were in a gravitational field. Terence will appear to be high up in that field and because of gravitational time dilation, his clock will appear to run fast, so much so that the net result will be that Terence has aged more than Stella when they are back together. [32] The theoretical arguments predicting gravitational time dilation are not exclusive to general relativity. Any theory of gravity will predict gravitational time dilation if it respects the principle of equivalence, including Newton's theory. [21] : 16

Gravitation Edit

This introductory section has focused on the spacetime of special relativity, since it is the easiest to describe. Minkowski spacetime is flat, takes no account of gravity, is uniform throughout, and serves as nothing more than a static background for the events that take place in it. The presence of gravity greatly complicates the description of spacetime. In general relativity, spacetime is no longer a static background, but actively interacts with the physical systems that it contains. Spacetime curves in the presence of matter, can propagate waves, bends light, and exhibits a host of other phenomena. [21] : 221 A few of these phenomena are described in the later sections of this article.

Galilean transformations Edit

A basic goal is to be able to compare measurements made by observers in relative motion. If there is an observer O in frame S who has measured the time and space coordinates of an event, assigning this event three Cartesian coordinates and the time as measured on his lattice of synchronized clocks (x, g, z, t) (see Fig. 1-1). A second observer O′ in a different frame S′ measures the same event in her coordinate system and her lattice of synchronized clocks (x ′ , g ′ , z ′ , t ′ ) . With inertial frames, neither observer is under acceleration, and a simple set of equations allows us to relate coordinates (x, g, z, t) to (x ′ , g ′ , z ′ , t ′ ) . Given that the two coordinate systems are in standard configuration, meaning that they are aligned with parallel (x, g, z) coordinates and that t = 0 when t ′ = 0 , the coordinate transformation is as follows: [33] [34]

Fig. 3-1 illustrates that in Newton's theory, time is universal, not the velocity of light. [35] : 36–37 Consider the following thought experiment: The red arrow illustrates a train that is moving at 0.4 c with respect to the platform. Within the train, a passenger shoots a bullet with a speed of 0.4 c in the frame of the train. The blue arrow illustrates that a person standing on the train tracks measures the bullet as traveling at 0.8 c. This is in accordance with our naive expectations.

More generally, assuming that frame S′ is moving at velocity v with respect to frame S, then within frame S′, observer O′ measures an object moving with velocity u ′ . Ātrums u with respect to frame S, since x = ut , x ′ = xvt , un t = t ′ , can be written as x ′ = utvt = (uv)t = (uv)t ′ . This leads to u ′ = x ′ /t ′ and ultimately

which is the common-sense Galilean law for the addition of velocities.

Relativistic composition of velocities Edit

The composition of velocities is quite different in relativistic spacetime. To reduce the complexity of the equations slightly, we introduce a common shorthand for the ratio of the speed of an object relative to light,

Fig. 3-2a illustrates a red train that is moving forward at a speed given by v/c = β = s/a . From the primed frame of the train, a passenger shoots a bullet with a speed given by u ′ /c = β ′ = n/m , where the distance is measured along a line parallel to the red x ′ axis rather than parallel to the black x axis. What is the composite velocity u of the bullet relative to the platform, as represented by the blue arrow? Referring to Fig. 3-2b:

  1. From the platform, the composite speed of the bullet is given by u = c(s + r)/(a + b) .
  2. The two yellow triangles are similar because they are right triangles that share a common angle α. In the large yellow triangle, the ratio s/a = v/c = β .
  3. The ratios of corresponding sides of the two yellow triangles are constant, so that r/a = b/s = n/m = β ′ . Tātad b = us/c un r = ua/c .
  4. Substitute the expressions for b un r into the expression for u in step 1 to yield Einstein's formula for the addition of velocities: [35] : 42–48

The relativistic formula for addition of velocities presented above exhibits several important features:

  • Ja u ′ and v are both very small compared with the speed of light, then the product vu ′ /c 2 becomes vanishingly small, and the overall result becomes indistinguishable from the Galilean formula (Newton's formula) for the addition of velocities: u = u ′ + v. The Galilean formula is a special case of the relativistic formula applicable to low velocities.
  • Ja u ′ is set equal to c, then the formula yields u = c regardless of the starting value of v. The velocity of light is the same for all observers regardless their motions relative to the emitting source. [35] : 49

Time dilation and length contraction revisited Edit

It is straightforward to obtain quantitative expressions for time dilation and length contraction. Fig. 3-3 is a composite image containing individual frames taken from two previous animations, simplified and relabeled for the purposes of this section.

To reduce the complexity of the equations slightly, there are a variety of different shorthand notations for ct:

In Fig. 3-3a, segments OA un labi represent equal spacetime intervals. Time dilation is represented by the ratio OB/labi. The invariant hyperbola has the equation w = √ x 2 + k 2 kur k = labi, and the red line representing the world line of a particle in motion has the equation w = x/β = xc/v. A bit of algebraic manipulation yields O B = O K / 1 − v 2 / c 2 . < extstyle OB=OK//c^<2>>>.>

The expression involving the square root symbol appears very frequently in relativity, and one over the expression is called the Lorentz factor, denoted by the Greek letter gamma γ : [36]

In Fig. 3-3b, segments OA un labi represent equal spacetime intervals. Length contraction is represented by the ratio OB/labi. The invariant hyperbola has the equation x = √ w 2 + k 2 , kur k = labi, and the edges of the blue band representing the world lines of the endpoints of a rod in motion have slope 1/β = c/v. Event A has coordinates (x, w) = (γk, γβk). Since the tangent line through A and B has the equation w = (xOB)/β, we have γβk = (γkOB)/β un

Lorentz transformations Edit

The Galilean transformations and their consequent commonsense law of addition of velocities work well in our ordinary low-speed world of planes, cars and balls. Beginning in the mid-1800s, however, sensitive scientific instrumentation began finding anomalies that did not fit well with the ordinary addition of velocities.

Lorentz transformations are used to transform the coordinates of an event from one frame to another in special relativity.

The Lorentz factor appears in the Lorentz transformations:

The inverse Lorentz transformations are:

When vc un x is small enough, the v 2 /c 2 un vx/c 2 terms approach zero, and the Lorentz transformations approximate to the Galilean transformations.

Calling one set of transformations the normal Lorentz transformations and the other the inverse transformations is misleading, since there is no intrinsic difference between the frames. Different authors call one or the other set of transformations the "inverse" set. The forwards and inverse transformations are trivially related to each other, since the S frame can only be moving forwards or reverse with respect to S ′ . So inverting the equations simply entails switching the primed and unprimed variables and replacing v with −v. [37] : 71–79

Piemērs: Terence and Stella are at an Earth-to-Mars space race. Terence is an official at the starting line, while Stella is a participant. At time t = t ′ = 0 , Stella's spaceship accelerates instantaneously to a speed of 0.5 c. The distance from Earth to Mars is 300 light-seconds (about 90.0 × 10 6 km ). Terence observes Stella crossing the finish-line clock at t = 600.00 s . But Stella observes the time on her ship chronometer to be t ′ = γ ( t − v x / c 2 ) = 519.62 s =gamma left(t-vx/c^<2> ight)=519.62 < ext>> as she passes the finish line, and she calculates the distance between the starting and finish lines, as measured in her frame, to be 259.81 light-seconds (about 77.9 × 10 6 km ). 1).

Deriving the Lorentz transformations Edit

There have been many dozens of derivations of the Lorentz transformations since Einstein's original work in 1905, each with its particular focus. Although Einstein's derivation was based on the invariance of the speed of light, there are other physical principles that may serve as starting points. Ultimately, these alternative starting points can be considered different expressions of the underlying principle of locality, which states that the influence that one particle exerts on another can not be transmitted instantaneously. [38]

The derivation given here and illustrated in Fig. 3-5 is based on one presented by Bais [35] : 64–66 and makes use of previous results from the Relativistic Composition of Velocities, Time Dilation, and Length Contraction sections. Event P has coordinates (w, x) in the black "rest system" and coordinates (w ′ , x ′ ) in the red frame that is moving with velocity parameter β = v/c . To determine w ′ and x ′ in terms of w un x (or the other way around) it is easier at first to derive the inverse Lorentz transformation.

  1. There can be no such thing as length expansion/contraction in the transverse directions. y ' jābūt vienādam g un z ′ must equal z, otherwise whether a fast moving 1 m ball could fit through a 1 m circular hole would depend on the observer. The first postulate of relativity states that all inertial frames are equivalent, and transverse expansion/contraction would violate this law. [37] : 27–28
  2. From the drawing, w = a + b un x = r + s
  3. From previous results using similar triangles, we know that s/a = b/r = v/c = β .
  4. Because of time dilation, a = γw ′
  5. Substituting equation (4) into s/a = β ražas s = γw ′ β .
  6. Length contraction and similar triangles give us r = γx ′ un b = βr = βγx ′
  7. Substituting the expressions for s, a, r un b into the equations in Step 2 immediately yield w = γ w ′ + β γ x ′ x = γ x ′ + β γ w ′

The above equations are alternate expressions for the t and x equations of the inverse Lorentz transformation, as can be seen by substituting ct priekš w, ct ′ for w ′ , and v/c priekš β. From the inverse transformation, the equations of the forwards transformation can be derived by solving for t ′ and x ′ .

Linearity of the Lorentz transformations Edit

The Lorentz transformations have a mathematical property called linearity, since x ′ and t ′ are obtained as linear combinations of x un t, with no higher powers involved. The linearity of the transformation reflects a fundamental property of spacetime that was tacitly assumed in the derivation, namely, that the properties of inertial frames of reference are independent of location and time. In the absence of gravity, spacetime looks the same everywhere. [35] : 67 All inertial observers will agree on what constitutes accelerating and non-accelerating motion. [37] : 72–73 Any one observer can use her own measurements of space and time, but there is nothing absolute about them. Another observer's conventions will do just as well. [21] : 190

A result of linearity is that if two Lorentz transformations are applied sequentially, the result is also a Lorentz transformation.

Piemērs: Terence observes Stella speeding away from him at 0.500 c, and he can use the Lorentz transformations with β = 0.500 to relate Stella's measurements to his own. Stella, in her frame, observes Ursula traveling away from her at 0.250 c, and she can use the Lorentz transformations with β = 0.250 to relate Ursula's measurements with her own. Because of the linearity of the transformations and the relativistic composition of velocities, Terence can use the Lorentz transformations with β = 0.666 to relate Ursula's measurements with his own.

Doppler effect Edit

The Doppler effect is the change in frequency or wavelength of a wave for a receiver and source in relative motion. For simplicity, we consider here two basic scenarios: (1) The motions of the source and/or receiver are exactly along the line connecting them (longitudinal Doppler effect), and (2) the motions are at right angles to the said line (transverse Doppler effect). We are ignoring scenarios where they move along intermediate angles.

Longitudinal Doppler effect Edit

The classical Doppler analysis deals with waves that are propagating in a medium, such as sound waves or water ripples, and which are transmitted between sources and receivers that are moving towards or away from each other. The analysis of such waves depends on whether the source, the receiver, or both are moving relative to the medium. Given the scenario where the receiver is stationary with respect to the medium, and the source is moving directly away from the receiver at a speed of vs for a velocity parameter of βs, the wavelength is increased, and the observed frequency f dod

On the other hand, given the scenario where source is stationary, and the receiver is moving directly away from the source at a speed of vr for a velocity parameter of βr, the wavelength is changed, but the transmission velocity of the waves relative to the receiver is decreased, and the observed frequency f dod

Light, unlike sound or water ripples, does not propagate through a medium, and there is no distinction between a source moving away from the receiver or a receiver moving away from the source. Fig. 3-6 illustrates a relativistic spacetime diagram showing a source separating from the receiver with a velocity parameter β, so that the separation between source and receiver at time w ir βw. Because of time dilation, W = Y W ′ > . Since the slope of the green light ray is −1, T = W + β w = γ w ′ ( 1 + β ) =W+eta w=gamma w^(1+eta )> . Hence, the relativistic Doppler effect is given by [35] : 58–59

Transverse Doppler effect Edit

Suppose that a source and a receiver, both approaching each other in uniform inertial motion along non-intersecting lines, are at their closest approach to each other. It would appear that the classical analysis predicts that the receiver detects no Doppler shift. Due to subtleties in the analysis, that expectation is not necessarily true. Nevertheless, when appropriately defined, transverse Doppler shift is a relativistic effect that has no classical analog. The subtleties are these: [39] : 541–543

  • Fig. 3-7a. What is the frequency measurement when the receiver is geometrically at its closest approach to the source? This scenario is most easily analyzed from the frame S' of the source. [note 10]
  • Fig. 3-7b. What is the frequency measurement when the receiver redz the source as being closest to it? This scenario is most easily analyzed from the frame S of the receiver.

Two other scenarios are commonly examined in discussions of transverse Doppler shift:

  • Fig. 3-7c. If the receiver is moving in a circle around the source, what frequency does the receiver measure?
  • Fig. 3-7d. If the source is moving in a circle around the receiver, what frequency does the receiver measure?

In scenario (a), the point of closest approach is frame-independent and represents the moment where there is no change in distance versus time (i.e. dr/dt = 0 where r is the distance between receiver and source) and hence no longitudinal Doppler shift. The source observes the receiver as being illuminated by light of frequency f ′ , but also observes the receiver as having a time-dilated clock. In frame S, the receiver is therefore illuminated by blueshifted light of frequency

In scenario (b) the illustration shows the receiver being illuminated by light from when the source was closest to the receiver, even though the source has moved on. Because the source's clocks are time dilated as measured in frame S, and since dr/dt was equal to zero at this point, the light from the source, emitted from this closest point, is redshifted with frequency

Scenarios (c) and (d) can be analyzed by simple time dilation arguments. In (c), the receiver observes light from the source as being blueshifted by a factor of γ , and in (d), the light is redshifted. The only seeming complication is that the orbiting objects are in accelerated motion. However, if an inertial observer looks at an accelerating clock, only the clock's instantaneous speed is important when computing time dilation. (The converse, however, is not true.) [39] : 541–543 Most reports of transverse Doppler shift refer to the effect as a redshift and analyze the effect in terms of scenarios (b) or (d). [note 11]

Energy and momentum Edit

Extending momentum to four dimensions Edit

In classical mechanics, the state of motion of a particle is characterized by its mass and its velocity. Linear momentum, the product of a particle's mass and velocity, is a vector quantity, possessing the same direction as the velocity: lpp = mv . Tas ir conserved quantity, meaning that if a closed system is not affected by external forces, its total linear momentum cannot change.

In relativistic mechanics, the momentum vector is extended to four dimensions. Added to the momentum vector is a time component that allows the spacetime momentum vector to transform like the spacetime position vector ( x , t ) . In exploring the properties of the spacetime momentum, we start, in Fig. 3-8a, by examining what a particle looks like at rest. In the rest frame, the spatial component of the momentum is zero, i.e. lpp = 0 , but the time component equals mc.

We will use this information shortly to obtain an expression for the four-momentum.

Momentum of light Edit

Light particles, or photons, travel at the speed of c, the constant that is conventionally known as the speed of light. This statement is not a tautology, since many modern formulations of relativity do not start with constant speed of light as a postulate. Photons therefore propagate along a light-like world line and, in appropriate units, have equal space and time components for every observer.

Photons travel at the speed of light, yet have finite momentum and energy. For this to be so, the mass term in γmc must be zero, meaning that photons are massless particles. Infinity times zero is an ill-defined quantity, but E/c is well-defined.

Mass-energy relationship Edit

Consideration of the interrelationships between the various components of the relativistic momentum vector led Einstein to several famous conclusions.

  • In the low speed limit as β = v/c approaches zero, γ approaches 1, so the spatial component of the relativistic momentum β γ m c = γ m v approaches mv, the classical term for momentum. Following this perspective, γm can be interpreted as a relativistic generalization of m. Einstein proposed that the relativistic mass of an object increases with velocity according to the formula m r e l = γ m =gamma m> .
  • Likewise, comparing the time component of the relativistic momentum with that of the photon, γ m c = m r e l c = E / c c=E/c> , so that Einstein arrived at the relationship E = m r e l c 2 c^<2>> . Simplified to the case of zero velocity, this is Einstein's famous equation relating energy and mass.

Another way of looking at the relationship between mass and energy is to consider a series expansion of γmc 2 at low velocity:

The second term is just an expression for the kinetic energy of the particle. Mass indeed appears to be another form of energy. [35] : 90–92 [37] : 129–130,180

The concept of relativistic mass that Einstein introduced in 1905, mrel, although amply validated every day in particle accelerators around the globe (or indeed in any instrumentation whose use depends on high velocity particles, such as electron microscopes, [40] old-fashioned color television sets, etc.), has nevertheless not proven to be a fruitful concept in physics in the sense that it is not a concept that has served as a basis for other theoretical development. Relativistic mass, for instance, plays no role in general relativity.

For this reason, as well as for pedagogical concerns, most physicists currently prefer a different terminology when referring to the relationship between mass and energy. [41] "Relativistic mass" is a deprecated term. The term "mass" by itself refers to the rest mass or invariant mass, and is equal to the invariant length of the relativistic momentum vector. Expressed as a formula,

This formula applies to all particles, massless as well as massive. For massless photons, it yields the same relationship as established earlier, E = ± p c . [35] : 90–92

Four-momentum Edit

Because of the close relationship between mass and energy, the four-momentum (also called 4-momentum) is also called the energy–momentum 4-vector. Using an uppercase Lpp to represent the four-momentum and a lowercase lpp to denote the spatial momentum, the four-momentum may be written as

Conservation laws Edit

In physics, conservation laws state that certain particular measurable properties of an isolated physical system do not change as the system evolves over time. In 1915, Emmy Noether discovered that underlying each conservation law is a fundamental symmetry of nature. [42] The fact that physical processes don't care kur in space they take place (space translation symmetry) yields conservation of momentum, the fact that such processes don't care kad they take place (time translation symmetry) yields conservation of energy, and so on. In this section, we examine the Newtonian views of conservation of mass, momentum and energy from a relativistic perspective.

Total momentum Edit

To understand how the Newtonian view of conservation of momentum needs to be modified in a relativistic context, we examine the problem of two colliding bodies limited to a single dimension.

In Newtonian mechanics, two extreme cases of this problem may be distinguished yielding mathematics of minimum complexity:

(1) The two bodies rebound from each other in a completely elastic collision. (2) The two bodies stick together and continue moving as a single particle. This second case is the case of completely inelastic collision.

For both cases (1) and (2), momentum, mass, and total energy are conserved. However, kinetic energy is not conserved in cases of inelastic collision. A certain fraction of the initial kinetic energy is converted to heat.

Looking at the events of this scenario in reverse sequence, we see that non-conservation of mass is a common occurrence: when an unstable elementary particle spontaneously decays into two lighter particles, total energy is conserved, but the mass is not. Part of the mass is converted into kinetic energy. [37] : 134–138


[Udemy 100% Off]-PhpStorm master class. The best php IDE for fullstack dev

Get 100% Free Udemy Discount Coupon Code ( UDEMY Free Promo Code ) ,You Will Be Able To Enroll this Course “PhpStorm master class. The best php IDE for fullstack dev” totally FREE For Lifetime Access . Do Hurry Or You Will Have To Pay $ $

Prasības

Course Duration: 5.5 hours

Instructor: Hidran Arias

English Ratings: 4.5

Apraksts

PhpStorm master class. The Best php IDE for fullstack development.

Full support of all php8 Iespējas.

HTML / CSS / JavaScript editor with all the features of webstorm

  • Make the most of PhpStorm to develop with php
  • optimize it for Laravel
  • automate frontend tasks sass, webpack.

PhpStorm, my favorite IDE, is one of the best IDEs for working with PHP based web projects

PhpStorm is perfect for working with Symfony, Laravel, Drupal, WordPress, Zend Framework, Magento, Joomla!, CakePHP, Yii and other frameworks.

Front-end technologies included Make the most of cutting-edge front-end technologies, such as HTML 5, CSS, Sass, Less, Stylus, CoffeeScript, TypeScript, Emmet and JavaScript, with refactoring, debugging and unit testing available. See changes instantly in the browser with Live Edit.

Version control system integration, remote deployment support, database / SQL, command line tools, Docker, Composer, REST client and many other tools.

All WebStorm features are included in PhpStorm, with full support for PHP and database / SQL added on top of it.

PHPDoc support, code (re) arranger and formatter, quick-fixes.

Code refactoring reliably with Rename, Move, Delete, Extract Method, Inline Variable, Push members Up / Pull members Down, Change Signature and many more refactoring

It works with Xdebug and Zend Debugger, and can be used both locally and remotely. Unit Testing with PHPUnit, BDD with Behat and profiler integration are all also available.


Skatīties video: QGIS: Plugin Vector Affine Transformation